En este trabajo se aborda la categoricidad de la aritmética de Peano en el marco de la lógica de segundo orden. El trabajo está dividido en dos partes:

 

En la primera parte se presenta el sistema axiomático y se demuestra la categoricidad de la aritmética de Peano con semántica estándar. Como prueba de la categoricidad se ha escogido una demostración que hace uso de un tipo de estructuras a las se denomina modelos de inducción. A partir de la categoricidad de esta teoría probamos que la lógica de segundo orden con semántica estándar carece de algunas metapropiedades, tales como la compacidad y el teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski. También se presenta la aplicación del teorema de iteración a las funciones definidas por recursión, como la adición o el producto.

 

En la segunda parte se emplea la semántica no estándar definida por Henkin en (1950). En este nuevo marco, encontramos modelos doblemente no estándar. En primer lugar, lo son porque la semántica de Henkin no es estándar. En segundo lugar, lo son porque no son isomorfos al modelo estándar de la aritmética de los naturales. Se introduce entonces la noción de categoricidad interna, una variante de la noción de categoricidad que nos va a permitir caracterizar clases de estructuras bajo isomorfismo; isomorfismo que se define en el propio lenguaje formal de la lógica de segundo orden. De esta forma en lógica de segundo orden con modelos generales de Henkin recuperamos las metapropiedades de la lógica de primer orden y la aritmética de Peano mantiene un tipo de categoricidad, la categoricidad interna.”