Objetivos

• Manejar y utilizar con fluidez las nociones de teoría de conjuntos.
• Discutir y resolver problemas que exijan el uso de teoría de conjuntos.
• Discutir y analizar la historia de la teoría de conjuntos y problemas relativos a los desarrollos contemporáneos de la misma.

Contenidos

El curso es una introducción a la teoría de conjuntos, comenzando por la denominada “Teoría Intuitiva de Conjuntos” y a la Teoría Axiomática de Conjuntos de Zermelo Fraenkel. Además se cubrirá una parte de su historia y de su filosofía. El objetivo es que el estudiante domine los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, los axiomas de ZFC, entienda los problemas que dieron origen a la teoría axiomática ZFC y las dificultades que plantea. Se presentarán nuevos desarrollos y líneas de trabajo en el ámbito de la teoría de conjuntos contemporánea y se explorarán otras teorías de conjuntos. 

Temario

1. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
2. Conjuntos y teoría de tipos.
3. Conjuntos y predicados: el principio de comprensión.
4. Operaciones con conjuntos.
5. Relaciones y funciones.
6. Relaciones de orden.
7. El principio de inducción.
8. Conjuntos y estructuras algebraicas.
9. Nociones conjuntistas en el estudio de la lógica.

Bibliografía básica

En el curso virtual se proporcionan versiones digitales de los siguinentes materiales:

J.A. ALONSO, J. BORREGO, M.J. PÉREZ, J.L. RUIZ, Curso práctico de Teoría de Conjuntos, Sevilla, 2007.
J.A. ALONSO, "Demostración Asistida por Ordenador con Isabelle/HOL", Sevilla, 2013.
B. BLUMSON, "Isabelle for Philosophers", 2019.
W.M. FARMER, "The seven virtues of simple type theory", Journal of Applied Logic, 6 (2008) 267-286.

También se utilizarán algunos manuales y tutoriales de Isabelle (incluidos en la instalación estándar), así como algunos de los ejemplos disponibles en el Archive of Formal Proofs.

Bibliografía complementaria

J. BAGARIA (2012): “La teoría de conjuntos”, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática, v. 15, n. 2, pp. 369-388.
J.L. BELL (2005): Set theory: Boolean valued models and independence proofs. Oxford Clarendon Press.
G. CANTOR (1932): Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Springer. Reimpreso Hildesheim, G. Olms, 1962.
P. J. COHEN (1966). Set theory and the continuum hypothesis. W. A. Benjamin.
J. W. DAUBEN (1979): George Cantor. His mathematics and philosophy of the infinite. Princeton University Press.
K. J. DEVLIN (1979): Fundamentals of contemporary set theory, Springer.
F. R. DRAKE (1974): Set theory: an introduction to large cardinals. North-Holland.
H. B. ENDERTON (1977): Elements of set theory, Academic Press.
J. FERREIROS (2007): Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser.
A. FRAENKEL (1953): Abstract Set Theory. North-Holland.
A. FRAENKEL, Y. BAR-HILLEL, A. LEVY & D. van DALEN (1973): Foundations of set theory, North-Holland.
K. GÖDEL (1940): The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis. Annals of mathematical studies. Princeton University Press.
K. GÖDEL (1981): Obras completas. Alianza Editorial. Introducción y traducción de J. Mosterin.
C. GÓMEZ BERMÚDEZ (2009): George Cantor. Sistema de números y conjuntos. Universidade da Coruña.
A. LEVY (1979): Basic set theory. Springer.
T. JECH (2003): Set theory: the third millennium. Springer.
A. KANAMORI (2003): The higher infinite. Springer.
K. KUNEN (1992): Set theory: an introduction to independence proofs. North-Holland.
W.V. QUINE (1980): Set theory and its logic. Harvard University Press.
W. SIERPINSKI (1965): Cardinal and ordinal numbers. PWN Editions Scientifiques de Pologne.
R. M. SMULLYAN & M. FITTING (1996): Set theory and the continuum problem. Clarendon Press.
P. SUPPES (1960): Axiomatic set theory. D. van Nostrand. Traducción castellana: Teoría Axiomática de Conjuntos, Editorial Norma, 1968.
G. TAKEUTI & W. M. ZARING (1971): Introduction to axiomatic set theory. Springer.
G. TAKEUTI & W. M. ZARING (1973): Axiomatic set theory. Springer.
R. TORRETTI (1998): El paraíso de Cantor. La tradición conjuntista en la Filosofía matemática. Editorial universitaria, Santiago de Chile.

Competencias

CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB9. Los estudiantes sabrán comunicar sus conclusiones –y los conocimientos y razones últimas que las sustentan- a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10. Los estudiantes poseerán las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
Generales:
CG1. Ser capaz de crear documentaciones legibles, completas, técnicamente correctas. Elaborar trabajos de investigación homologables con el nivel internacional actual de las disciplinas.
Específicas:
CE1. Identificar los conocimientos tradicionales y actuales que se plantean en el área de Lógica y filosofía de la Ciencia, así como de sus diferentes corrientes y tradiciones.
CE2. Lograr un dominio del instrumental analítico de la Filosofía de modo que les permita deslindar los factores semánticos, lógicos, epistemológicos, metodológicos, ontológicos, axiológicos y éticos presentes en la Ciencia y la tecnología.

Metodología de la enseñanza

Para el estudio de los contenidos y realización de los ejercicios usaremos el asistente de demostración Isabelle. Es conveniente que los estudiantes acudan a las sesiones presenciales con un ordenador portátil en el que previamente instalen la versión de Isabelle correspondiente a su sistema operativo, para familiarizarse con el entorno y la escritura de demostraciones. 

• Clases presenciales. Los temas se presentan en clases donde se discuten los contenidos fundamentales y se facilita material complementario. La participación activa en estas sesiones aporta un 20% de la calificación. 
• Trabajo y actividades complementarias. Los estudiantes han de resolver a lo largo del curso varias series de problemas en los que se ponen en práctica las nociones estudiadas (50% de la calificación). Se valorará la precisión en el manejo de los conceptos estudiados y la corrección y detalle de las pruebas ofrecidas. Igualmente, elaborarán un trabajo final de ampliación de alguno de los temas estudiados (30% de la calificación).
• Tutorías. Seguimiento del grado de comprensión de la materia expuesta y aclaración de dudas e interrogantes para una mejor adquisición de los conceptos y realización de los trabajos.

Sistema de evaluación

• Asistencia: 20%
• Seguimiento del trabajo: 50%. 
• Trabajo final: 30%

Tiempo de estudio y trabajo personal

• Total horas: 125
• Total H presenc.: 10
• Total clases magistrales /teóricas: 10
• Total H no presenciales (trabajo personal): 115
• Tutorías: 10
• Seguimiento del trabajo del curso: 73
• Realización de prueba final o realización de trabajo final guiado por el profesor: 32