Inducción en los números racionales: hacia una potencial construcción de los números reales

Director/a: 
Juan Luis Barba Escribá
Categoría: 
Resumen: 

En este trabajo se desarrolla una teoría axiomática para describir la estructura de los números racionales manifiesta en los árboles de Stern-Brocot y Calkin-Wilf, sentando las bases para una posible construcción alternativa de los números reales. Se construye una teoría de primer orden y una de segundo orden, de las cuales dichos árboles son el modelo estándar. Se añade un esquema de axioma de inducción en primer orden y un axioma de inducción en segundo orden, mismos que permiten hacer inducción en el conjunto de los números racionales positivos. Los axiomas de las teorías son una generalización de los axiomas de Peano que involucran dos funciones sucesor en lugar de una. Se demuestra que en primer orden la teoría construida tiene modelos no estándar que deben contener una inmersión del modelo estándar, mientras que en segundo orden de obtiene una teoría categórica. Tomando como base el trabajo realizado, se esboza un camino hacia una posible construcción formal de los números reales a través de conjuntos de números racionales fácilmente identificables en el árbol de Stern-Brocot, señalando sus ventajas sobre las cortaduras de Dedekind. 

 

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